Hauteurs
On veut montrer que les hauteurs dans un triangle sont concourantes.

Soit ABC un triangle.
1e ) Tracer la hauteur (AH).
Tracer la droite d,  parallèle à (BC) passant par A.
Que peut on dire de d et (AH) ?

(AH) hauteur de ABC donc (AH) (BC).

(AH) (BC) et d//(BC), or si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Donc (AH) d.

2e ) Tracer d’, parallèle à (AC) passant par B.
d et d’ se coupent en E.
a ) Que peut on dire de AEBC ?

d//(BC) et D'//(AC), donc AEBC est un parallélogramme.

b ) Que peut on dire de BC et AE ?

AEBC est un parallélogramme, or les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux, donc AE = BC.

3e )La parallèle à (AB) passant par C coupe d en F et d’ en G.
a ) Que peut on dire de ABCF ?

d//(BC) et (FG)//(AB), donc ABCF est un parallélogramme.

b ) Que peut on dire de BC et AF ?
ABCF est un parallélogramme, or les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux, donc AF =BC.

4e ) Que représente (AH ) pour [EF] ?

AE=BC et AF=BC, donc AE=AF.
(AE)//(BC) et (AF)//(BC), donc A, E et F sont alignés.
Donc A est le milieu de [EF].

De plus (AH) d, donc (AH) est la médiatrice de [EF].

 

5e ) a ) Tracer la hauteur (BK) de ABC.
Que représente (BK) pour [EG] ?

On montre de façon analogue que (BK) est la médiatrice de [EG].

b ) Tracer la hauteur (CL) de ABC.
Que représente (CL) pour [GF] ?

On montre de façon analogue que (CL) est la médiatrice de [AB].

6e ) Que peut on dire de (BK), (CL) et (GF) ?
Les médiatrices des trois côtés d'un triangle sont concourantes. Donc (BK), (CL) et (AH) sont concourantes.

7e ) Conclusion : que peut on dire des trois hauteurs d’un triangle ?

Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes.

 

Leur point d'intersection s'appelle l'orthocentre du triangle.