Médianes
On veut montrer que les médianes dans un triangle sont concourantes, et préciser la position de leur point d’intersection

Soit ABC un triangle.
Tracer les médianes [CI] et [AJ] de ce triangle. Elles se coupent en G.
Tracer le point D, symétrique de B par rapport à G.
1e ) Montrer que (CI) et (DA) sont parallèles.
Dest le symétrique de B par rapport à G donc G est le milieu de [BD].

Dans le triangle ADB:
I est le milieu de [AB] et G est le milieu de [BD], donc (AD)//(GI) d'après le premier théorème des milieux.
donc (CI)//(AD).

2e ) Montrer que (AJ) et (CD) sont parallèles.

Dans le triangle CDB:
J est le milieu de [BC] et G est le milieu de [BD], donc (GJ)//(CD) d'après le premier théorème des milieux.
donc (AJ)//(AD).

3e  ) Montrer que GADC est un parallélogramme.

(CI)//(AD) et (AJ)//(AD) donc GADC est un parallélogramme par définition.

4e ) (BG) coupe (AC) au point O. Montrer que O est le milieu de [AC].

GADC est un parallélogramme, or les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, donc O est le milieu de [AC].

       Que représente (BO) pour ABC ?

O est le milieu de [AC], donc (BO) est la médiane issue de B de ABC.

5e ) Conclusion : que peut on dire des médianes des trois côtés du triangle ?

Les trois médianes (AJ), (CI) et (BO) se coupent au point O. Elles sont concourantes.

 

6e ) a ) Monter que BG = 2GO.
GADC est un parallélogramme, donc O est le milieu de [GD], donc GO = OD.

G est le milieu de [BD] donc BG = GD.

donc BG = 2GO.

b ) donc .