Soit ABC un triangle isocèle en A tel que AB = 5 cm et BC = 6 cm.
Soit  E le symétrique de A par rapport à B.
1^e ) Que représente (BC ) pour ACE ? Justifier.
E est le symétrique de A par rapport à B, donc B est le milieu de [AE]. Donc (BC) est la médiane issue de C de ACE.
2^e ) La perpendiculaire à (AE) passant par B coupe (CE) au point F
 Que représente (BF) pour [AE] ? Justifier.
(BF)(AE) et B est le milieu de [AE], donc (BF) est la médiatrice de [AE].
3^e ) Tracer le cercle circonscrit à ACE. Expliquer la construction.
On trace la médiatrice de [CE], par exemple. Le centre du cercle circonscrit à ACE est le point d'intersection des deux médiatrices.

Construire un triangle ABC.
Soit O le centre du cercle circonscrit à ce triangle.
Que peut on dire du triangle AOB ? Le démontrer.
O appartient à la médiatrice de [AB], or tout point de la médiatrice d'un segment est à égale distance des extrémités du segment, donc AOB est isocèle en O.

Soit P le symétrique de O par rapport à la droite (BC).
Que peut on dire du triangle BOP ? Le démontrer.
P est le symétrique de O par rapport à la droite (BC), donc (BC) est la médiatrice de [OP].
B appartient à la médiatrice de [OP], donc BOP est isocèle en O.

Construire un triangle ABC.
Construire le cercle circonscrit à ce triangle.
Soit O son centre.
Soit E le symétrique de A par rapport à O.
Montrer que E appartient au cercle.

E est le symétrique de A par rapport à O, donc O est le milieu de [AE]. O est le centre du cercle et A est un point du cercle, donc E est un point du cercle.

En déduire une méthode pour construire la médiatrice de [CE]  en utilisant uniquement une équerre.
OCE est isocèle en O, donc on trace la perpendiculaire à [CE] passant par O. Cette droite est la hauteur du triangle isocèle EOC, donc aussi la médiatrice de [EO].

Soit ABC un triangle rectangle en C tel que AC = 3 cm et AB = 6 cm.
a ) Soit D le symétrique de B par rapport à C.
Montrer que ( AC ) est la médiatrice de [ BD ].

D est le symétrique de B par rapport à C, donc C est le milieu de [BD].
ABC est un un triangle rectangle en C , donc
(AC)(BD).
Donc (AC) est la médiatrice de [BD].

b ) Tracer la médiatrice de [AD]. Elle coupe (AD) en E et ( AC ) en I.
Quelle est la nature du triangle ADI ? Le démontrer.

I apartient à la médiatrice de [AD], or tout point de la médiatrice d'un segment est à égale distance des extrémités du segment, donc AI =DI, donc ADI est isocèle en I.

c ) La hauteur issue de C du triangle ACD coupe ( AD ) en F.
Montrer que ( EI ) et ( CF ) sont parallèles.

(EI) est la médiatrce de [AD], donc (EI)(AD).
(CF) hauteur de ACD, donc (CF)(AD)

(EI)(AD) et (CF)(AD), or si deux droites sont perpendculaires à la même droite, alors ces deux droites sont parallèles, donc (CF)//(EI).

d ) Tracer le cercle circonscrit au triangle ABD.
Quel est son centre ? ( justifier )

(AC) est la médiatrice de [BD]
(EI) est la médiatrice de [AD]. (AC) et (EI) se coupent en I. Donc I est le centre du cercle circonscrit à ABD.

e ) Tracer la droite d, parallèle à ( BD ) passant par A.
Que peut on dire de d ? Le démontrer.
d//(BD) et (AC)(BD), donc d(AC).

Soit ABC un triangle tel que AB = 3cm, BC = 9 cm et CA = 8 cm.
Tracer la médiatrice de [BC]. elle coupe (BC) en F et (AC) en E.
1^e  ) Que représente F pour [BC] ? Justifier.
(EF) est la médiatrice de [BC], donc F est le milieu de [BC].

2^e  ) Que peut on dire du triangle BEC ? Justifier.
E appartient à la médiatrice de [AB], or tout point de la médiatrice d'un segment est à égale distance des extrémités du segment, donc BEC est isocèle en E.

3^e  ) Soit [AH] la hauteur issue de A de ABC.
Que peut on dire de (AH) et (EF) ? Le démontrer .[AH] est la hauteur issue de A de ABC, donc (AH)(BC).
(EF) est la médiatrice de [BC], donc (EF)(BC).
(AH)(BC) et (EF)(BC), or si deux droites sont perpendiculaires à la même droite, alors ces deux droites sont parallèles. Donc (AH)//(EF).

4^e  ) Tracer le cercle circonscrit à ABC. Soit O son centre. Expliquer la construction du cercle et la position du point O .

Pour tracer le centre du cercle circonscrit à ABC, on peut tracer par exemple la médiatrice de [AC]. Le point d'intersection des deux médiatrices est le point O.

 Il manque une partie du cercle.

Imaginer une construction rigoureuse qui permette de le compléter. Expliquer.

Pour compléter le cercle, il faut tracer son centre. Pour tracer le centre du cercle, on peut tracer trois points quelconques du cercle et tracer les médiarices de deux des segments obtenus. Le centre du cercle est le point d'intersection des deux médiatices.