Droites particulières |
Dans le triangle ABC, tracer
la hauteur [AH] et la médiane [AA’].
Montrer que le triangle ABA’ et le triangle ACA’ ont
la même aire.
[AA'] est la médiane issue de A de ABC, donc A' est le milieu de
[BC], donc BA' = CA'.
BA' = CA', donc les deux aires sont égales.
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Conclusion: La médiane partage un triangle
en deux triangles de même aire. |
Soit
ABC un triangle rectangle en A tel que
AB = 8 cm et BC = 9 cm.
1e ) Calculer AC. En donner la valeur arrondie au
mm près.
ABC est un triangle rectangle en A, donc j'utilise le théorème
de Pythagore:
2e ) Les médianes (AA') et
(CC') de ABC se coupent au point G.
a ) Que représente G pour ABC ?
G est le centre de gravité de ABC.
b ) (BG) coupe (AC) au point E. Que représente
E pour [AC] ? Justifier.
(BG) passe par un sommet du triangle et par le centre de gravité.
(BG) est donc la troisième médiane de ABC. Donc E est le
milieu de [AC].
3e ) Tracer le cercle circonscrit au triangle ABC. Quel est
son centre ?
ABC est un triangle rectangle, or le centre du cercle circonscrit à
un triangle rectangle est le milieu de l'hypoténuse. Donc le centre
du cercle circonscrit à ABC est A'. |
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4e ) Soit K le symétrique de
C par rapport à A.
a ) Que représente (AB) pour BEK ?
(AB) passe par le sommet B du triangle BEK et est perpendiculaire
à [KE]. Donc (BA) est la hauteur issue de B du triangle BEK.
b ) Construire l'orthocentre H de BEK.
On trace une deuxième hauteur de ABC. |
Soit C un cercle de centre O
et de rayon 4 cm.
Soit [AB] un diamètre de ce cercle.
Soit C un point du cercle tel que AC = 3cm.
Soit D le symétrique de A par rapport à C.
1e ) Dans le triangle ADB :
a ) Que représente (BC) ? Justifier.
C appartient au cercle de diamètre [AB],
donc ABC est rectangle en C. Donc (BC) est la hauteur issue de B de ABD.
D est le symétrique de A par rapport à C, donc D est le
milieu de [AC], donc (BC) est la médiane issue de B de ABD.
b) Que représente (DO ) ? Justifier.
O est le milieu de [AB], donc (DO) est la médiane issue de
D de ABD.
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c ) (BC) et (DO) se coupent au
point E. (AE) coupe (DB) au point F.
Que représente F pour [BD] ?
(BC) et (DO) sont deux médianes de ABD, donc E est le centre de
gravité de ABD. Donc (AF) est la troisième médiane
de ABD et F est le milieu de [BD].
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Soit ABC un triangle de hauteur
(AH) tel que BC = 10 cm, BH = 3 cm et AH = 6 cm.
1e ) Calculer l’aire de ABC.
2e ) La médiatrice de [AB] coupe [AB] en I, (BC) en J
et (AH) en K. Que peut on dire du triangle ABJ ?
J appartient à la médiatrice de [AB], donc JA =JB,
donc ABJ est isocèle en J.
3e ) a ) Que représente K pour ABJ ?
(IJ) est la médiatrice de [AB], donc (IJ) est perpendiculaire
à (AB), donc (IJ) est la hauteur issue de J de ABJ.
K est le point d'intersection des hauteurs (AH) et (IJ), donc K est l'orthocentre
de ABJ.
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b ) Montrer que (BK) et (AJ) sont perpendiculaires.
(BK) passe par le sommet B et par l'orthocentre du triangle ABJ, donc
(BK) est la troisième hauteur de ABJ. Donc (BK) est perpendiculaire
à (AJ). |
Soit ABC un triangle
tel que BC = 10 cm, AB = 4 cm et AC = 8 cm.
Soit ( AH ) la hauteur issue de A de ce triangle.
Soit ( CJ ) la hauteur issue de C de ce triangle
( AH ) et ( CJ ) se coupent en K.
1e ) a ) Que représente K pour ABC ?
(AK) et (CJ) sont deux hauteurs du triangle ABC et elles se coupent
au point K. K est donc l'orthocentre de ABC. ( K est l'extérieur
du triangle parce que celui ci a un angle obtus).
b ) Montrer que .
(BK) passe par le sommet B de ABC et par l'orthocentre K . Donc (BK)
est la troisième hauteur de ABC. Donc .
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2e ) La médiatrice de [BC] coupe (BC) en L et (AC) en M.
Que peut on dire du triangle BCM ? Pourquoi ?
M appartient à la médiatrice de [BC], donc MB = MC, donc BMC
est isocèle en M.
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