Droites particulières

Dans le triangle ABC, tracer la hauteur [AH] et la médiane [AA’].

Montrer que le triangle ABA’ et le triangle ACA’ ont la même aire.
[AA'] est la médiane issue de A de ABC, donc A' est le milieu de [BC], donc BA' = CA'.


BA' = CA', donc les deux aires sont égales.


Conclusion: La médiane partage un triangle
en deux triangles de même aire.

Soit ABC un  triangle rectangle en A tel que
AB = 8 cm et BC = 9 cm.
1e ) Calculer AC. En donner la valeur arrondie au mm près.
ABC est un triangle rectangle en A, donc j'utilise le théorème de Pythagore:

2e ) Les médianes (AA') et (CC') de ABC se coupent au point G.
a )  Que représente G pour ABC ?
G est le centre de gravité de ABC.

b ) (BG) coupe (AC) au point E. Que représente E pour [AC] ? Justifier.
(BG) passe par un sommet du triangle et par le centre de gravité. (BG) est donc la troisième médiane de ABC. Donc E est le milieu de [AC].

3e ) Tracer le cercle circonscrit au triangle ABC. Quel est son centre ?
ABC est un triangle rectangle, or le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de l'hypoténuse. Donc le centre du cercle circonscrit à ABC est A'.

 

 

4e ) Soit K le symétrique de C par rapport à A.
a ) Que représente (AB) pour BEK ?
(AB) passe par le sommet B du triangle BEK et est perpendiculaire à [KE]. Donc (BA) est la hauteur issue de B du triangle BEK.

b ) Construire l'orthocentre H de BEK.
On trace une deuxième hauteur de ABC.


Soit C un cercle de centre O et de rayon 4 cm.
Soit [AB] un diamètre de ce cercle.
Soit C un point du cercle tel que AC = 3cm.
Soit D le symétrique de A par rapport à C.

1e ) Dans le triangle ADB :
a ) Que représente (BC) ? Justifier.

C appartient au cercle de diamètre [AB], donc ABC est rectangle en C. Donc (BC) est la hauteur issue de B de ABD.
D est le symétrique de A par rapport à C, donc D est le milieu de [AC], donc (BC) est la médiane issue de B de ABD.

b)  Que représente (DO ) ? Justifier.
O est le milieu de [AB], donc (DO) est la médiane issue de D de ABD.

c ) (BC) et (DO) se coupent au point E. (AE) coupe (DB) au point F.
Que représente F pour [BD] ?

(BC) et (DO) sont deux médianes de ABD, donc E est le centre de gravité de ABD. Donc (AF) est la troisième médiane de ABD et F est le milieu de [BD].


Soit ABC un triangle de hauteur (AH) tel que BC = 10 cm,  BH = 3 cm et AH = 6 cm.
1e ) Calculer l’aire de ABC.

2e ) La médiatrice de [AB] coupe [AB] en I, (BC) en J et (AH) en K.  Que peut on dire du triangle ABJ ?
J appartient à la médiatrice de [AB], donc JA =JB, donc ABJ est isocèle en J.

3e ) a ) Que représente K pour ABJ ?
(IJ) est la médiatrice de [AB], donc (IJ) est perpendiculaire à (AB), donc (IJ) est la hauteur issue de J de ABJ.
K est le point d'intersection des hauteurs (AH) et (IJ), donc K est l'orthocentre de ABJ.

      

b ) Montrer que (BK) et (AJ) sont perpendiculaires.
(BK) passe par le sommet B et par l'orthocentre du triangle ABJ, donc (BK) est la troisième hauteur de ABJ. Donc (BK) est perpendiculaire à (AJ).

Soit ABC un triangle tel que BC = 10 cm, AB = 4 cm et AC = 8 cm.
Soit ( AH ) la hauteur issue de A de ce triangle.
Soit ( CJ ) la hauteur issue de C de ce triangle
( AH ) et ( CJ ) se coupent en K.
1e ) a ) Que représente K pour ABC ?
(
AK) et (CJ) sont deux hauteurs du triangle ABC et elles se coupent au point K. K est donc l'orthocentre de ABC. ( K est l'extérieur du triangle parce que celui ci a un angle obtus).

      b ) Montrer que .
(BK) passe par le sommet B de ABC et par l'orthocentre K . Donc (BK) est la troisième hauteur de ABC. Donc .

 

2e ) La médiatrice de [BC] coupe  (BC) en L et (AC) en M.
Que peut on dire du triangle BCM ? Pourquoi ?
M appartient à la médiatrice de [BC], donc MB = MC, donc BMC est isocèle en M.