Soit  C un cercle de centre O et  A un point extérieur à C . Le cercle de centre A passant par O coupe C en E et F. Montrer que ( OA ) est la médiatrice de [ EF ].

E et F appartiennent au cercle de centre O, donc OE = OF.
E et F appartiennent au cercle de centre A, donc AE =AF.
(OA) contient deux points situés à égale distance de E et F, donc (OA) est la médiatrice de [EF].

Soient A et B deux points d’un cercle de centre O. Montrer que la médiatrice de  [ AB ] passe par O.
A et B appartiennent au cercle de centre O, don OA = OB.
O est donc équidistant de A et de B; or tout point équidistant de A et de B appartient à la médiatrice de [AB]. Donc O appartientà la médiatrice de [AB].

Soit OUI un triangle non rectangle.
Construire C pour que les triangles COU et COI soient isocèles en C. Justifier.
C appartient à la médiatrice de [OU] et C appartient à la médiatrice de [OI]. C est donc le point d'intersection de ces deux médiatrices.

Montrer que CUI est isocèle en C.
CU = Co et CO = CI, donc CU =CI. Donc CUI est isocèle en C.

Tracer le cercle de centre C passant par O.
Que remarque t on ? Le démontrer.
O est équidistant de U, de O et de I, donc le cercle de centre C qui passe par O est le cercle circonscrit au triangle. Il passe aussi par U et par I.