Démonstration du troisième théorème des milieux

On sait que :

I est le milieu de [AB]

J est sur [AC]

(IJ)//(BC)

Soit K le milieu de [AC].

On veut montrer que J et K sont confondus.

Exercices d’application du troisième théorème

I. ABCD est un parallélogramme.

Soit E le symétrique de A par rapport à d.

(EB) coupe (CD) en F.

F est il le milieu de [EB] ?

F est il le milieu de [CD] ?

II. Soit ABC un triangle rectangle en A.

La médiatrice de [AB] coupe [AB] en I et [BC] en J.

Que représente J pour [BC] ?

Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ?

Généralisation : quel est le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle ?

Théorèmes des milieux : exercices.

III.  Montrer que L est le milieu de [KJ].

IV. ABCD est un parallélogramme.

I est le milieu de [AD]

J est le milieu de [CD].

(IJ) et (BD) se coupent au point P.

Montrer que P est le milieu de [IJ].

V. Soit ABC un triangle. M est un point situé à l’intérieur de ABC.

E st le milieu de [AM], F est le milieu de [BM] et G est le milieu de [CM].

Comparer l ‘aire du triangle MEF et l’aire du triangle MAB.

Comparer l’aire du triangle EFG et l’aire du triangle ABC.

VI. ZUT est un triangle. I est le milieu de [ZU] et J le milieu de [ZT]. La perpendiculaire à (TU) passant par I coupe (TU) en I’.La perpendiculaire à (TU) passant par J coupe (TU) en J’.

Montrer que IJJ’I’ est un rectangle.

La perpendiculaire à (TU) passant par Z coupe (TU) en K.

Comparer les aires de IJJ’I’ et celle de ZUT.

Montrer que le périmètre de IJJ’I’ est égal à ZK+TU.

VII.

Le triangle ABC a été en partie effacé. Il ne reste que I et J, qui sont les milieux de [AB] et [AC]. Il faut tracer la hauteur du triangle, sans tracer ni B ni C. Et justifier !