Démonstration du troisième théorème des milieux
On sait que :
I est le milieu de [AB]
J est sur [AC]
(IJ)//(BC)
Soit K le milieu de [AC].
On veut montrer que J et K sont confondus.
Exercices d’application du troisième théorème
I. ABCD est un parallélogramme.
Soit E le symétrique de A par rapport à d.
(EB) coupe (CD) en F.
F est il le milieu de [EB] ?
F est il le milieu de [CD] ?
II. Soit ABC un triangle rectangle en A.
La médiatrice de [AB] coupe [AB] en I et [BC] en J.
Que représente J pour [BC] ?
Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ?
Généralisation : quel est le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle ?
Théorèmes des milieux : exercices.
III. 
Montrer que
L est le milieu de [KJ].
IV. ABCD est un parallélogramme.
I est le milieu de [AD]
J est le milieu de [CD].
(IJ) et (BD) se coupent au point P.
Montrer que P est le milieu de [IJ].
V. Soit ABC un triangle. M est un point situé à l’intérieur de ABC.
E st le milieu de [AM], F est le milieu de [BM] et G est le milieu de [CM].
Comparer l ‘aire du triangle MEF et l’aire du triangle MAB.
Comparer l’aire du triangle EFG et l’aire du triangle ABC.
VI. ZUT est un triangle. I est le milieu de [ZU] et J le milieu de [ZT]. La perpendiculaire à (TU) passant par I coupe (TU) en I’.La perpendiculaire à (TU) passant par J coupe (TU) en J’.
Montrer que IJJ’I’ est un rectangle.
La perpendiculaire à (TU) passant par Z coupe (TU) en K.
Comparer les aires de IJJ’I’ et celle de ZUT.
Montrer que le périmètre de IJJ’I’ est égal à ZK+TU.
VII.
Le triangle ABC a été en partie effacé. Il ne reste que I et J, qui sont les milieux de [AB] et [AC]. Il faut tracer la hauteur du triangle, sans tracer ni B ni C. Et justifier !