Equations du premier degré à une inconnue

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Un peu de vocabulaire

2 = 1+1 est une égalité vraie ( tout le monde sait que 2 = 1+ 1)

2 = 1 + 3 est un égalité fausse ( il vaut mieux éviter d'écrire des égalités fausses)

2 = x+1 est une égalité qui peut être vraie ou fausse suivant la valeur donnée à x. Cela s'appelle une équation.
Résoudre une équation, c'est trouver la ou les valeurs de x pour lesquelles l'égalité est vraie. Ces valeurs s'appellent les solutions de l'équation.

x, que l'on peut remplacer par n'importe quel nombre, s'appelle une inconnue. Quand elle n'est ni au carré ni au cube, on dit qu'il s'agit d'une équation du premier degré.

Mais alors qu'est-ce qu'une inégalité et une inéquation ?

Tester une égalité

l'égalité 4x-5 = 1+2x est elle vraie pour x = 2 ?

Calcul du premier membre:

42-5 = 8-5
42-5 = 3

3 n'est pas égal à 5, donc l'égalité est fausse pour x = 2.

2 n'est pas solution de cette équation.

Calcul du deuxième membre:

1 + 22 = 1 + 4
1 + 22 = 5

Propriétés de l'égalité permettant de résoudre des équations
De façon intuitive, une égalité fonctionne un peu comme une balance à deux plateaux:
si on ajoute quelque chose d'un côté, il faut ajouter la même chose de l'autre côté pour garder l'équilibre.
Egalité et addition
Egalité et multiplication

Si a = b , alors a + c = b + c
On peut ajouter ( ou soustraire) un même nombre aux deux membres d'une égalité.

Si a = b et si c est différent de 0, alors ac = bc
On peut multiplier ( ou diviser) les deux membres d'une égalité par un même nombre différent de 0.

Pourquoi prendre des précautions avec 0 ?
par exemple 2 = 3 est faux, mais 20 = 30 est vrai.
Multiplier par 0 peut rendre vraie une égalité qui était fausse. Plutôt gênant...

Technique de résolution d'une équation du premier degré à une inconnue.
Résoudre l'équation : 4x-5 = 1+2x

4x-5 -2x = 1+2x -2x
2x - 5 = 1
2x - 5 + 5 = 1 + 5
2x = 6

x = 3
La solution de l'équation est 3.

On enlève 2x aux deux membres de l'égalité pour rassembler les termes en x dans un seul des deux membres.
puis on compte.
On ajoute 5 aux deux membres de l'égalité pour isoler les termes en x.
puis on compte.
on divise les deux membres de l'égalité par 2 pour isoler le x.
Et on trouve x = 3. Pour que 4x-5 soit égal à 1+2x, il faut que x soit égal à 3.
C'est la seule solution.

Une équation du premier degré à une inconnue a, en général, une seule solution.

Equation qui n'a pas de solution

3( 1-2x) = 2 - 6x
3 - 6x = 2 - 6x
3 - 6x+6x = 2 - 6x +6x
3 = 2
3 = 2 est une égalité fausse, donc l'égalité de départ est fausse, quelle que soit la valeur donnée à x.
Cette équation n'a pas de solution.

Equation qui a une infinité de solutions

3( 1-2x) =3 - 6x
3 - 6x = 3 - 6x
3 - 6x+6x = 3 - 6x +6x
3 = 3

3 = 3 est une égalité vraie, donc l'égalité de départ est vraie, quelle que soit la valeur donnée à x.
Tous les nombres sont solution de cette équation..

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